Алгебраическая сумма падений напряжений

Законы Кирхгофа — формулы и примеры использования

Законы Кирхгофа устанавливают соотношения между токами и напряжениями в разветвленных электрических цепях произвольного типа. Законы Кирхгофа имеют особое значение в электротехнике из-за своей универсальности, так как пригодны для решения любых электротехнических задач. Законы Кирхгофа справедливы для линейных и нелинейных цепей при постоянных и переменных напряжениях и токах.

Первый закон Кирхгофа вытекает из закона сохранения заряда. Он состоит в том, что алгебраическая сумма токов, сходящихся в любом узле, равна нулю.

где – число токов, сходящихся в данном узле. Например, для узла электрической цепи (рис. 1) уравнение по первому закону Кирхгофа можно записать в виде I1 — I2 + I3 — I4 + I5 = 0

В этом уравнении токи, направленные к узлу, приняты положительными.

Физически первый закон Кирхгофа – это закон непрерывности электрического тока.

Второй закон Кирхгофа: алгебраическая сумма падений напряжений на отдельных участках замкнутого контура, произвольно выделенного в сложной разветвленной цепи, равна алгебраической сумме ЭДС в этом контуре

где k – число источников ЭДС; m – число ветвей в замкнутом контуре; Ii , Ri – ток и сопротивление i -й ветви.

Так, для замкнутого контура схемы (рис. 2 ) Е1 — Е2 + Е3 = I1R1 — I2R2 + I3R3 — I4R4

Замечание о знаках полученного уравнения:

1) ЭДС положительна, если ее направление совпадает с направлением произвольно выбранного обхода контура;

2) падение напряжения на резисторе положительно, если направление тока в нем совпадает с направлением обхода.

Физически второй закон Кирхгофа характеризует равновесие напряжений в любом контуре цепи.

Расчет разветвленной электрической цепи с помощью законов Кирхгофа

Метод законов Кирхгофа заключается в решении системы уравнений, составленных по первому и второму законам Кирхгофа.

Метод заключается в составлении уравнений по первому и второму законам Кирхгофа для узлов и контуров электрической цепи и решении этих уравнений с целью определения неизвестных токов в ветвях и по ним – напряжений. Поэтому число неизвестных равно числу ветвей b , следовательно, столько же независимых уравнений необходимо составить по первому и второму законам Кирхгофа.

Число уравнений, которые можно составить на основании первого закона, равно числу узлов цепи, причем только ( y – 1) уравнений являются независимыми друг от друга.

Независимость уравнений обеспечивается выбором узлов. Узлы обычно выбирают так, чтобы каждый последующий узел отличался от смежных узлов хотя бы одной ветвью. Остальные уравнения составляются по второму закону Кирхгофа для независимых контуров, т.е. число уравнений b — (y — 1) = b — y +1 .

Контур называется независимым, если он содержит хотя бы одну ветвь, не входящую в другие контуры.

Составим систему уравнений Кирхгофа для электрической цепи (рис. 3 ). Схема содержит четыре узла и шесть ветвей.

Поэтому по первому закону Кирхгофа составим y — 1 = 4 — 1 = 3 уравнения, а по второму b — y + 1 = 6 — 4 + 1 = 3 , также три уравнения.

Произвольно выберем положительные направления токов во всех ветвях (рис. 4 ). Направление обхода контуров выбираем по часовой стрелке.

Составляем необходимое число уравнений по первому и второму законам Кирхгофа

Полученная система уравнений решается относительно токов. Если при расчете ток в ветви получился с минусом, то его направление противоположно принятому направлению.
Потенциальная диаграмма – это графическое изображение второго закона Кирхгофа, которая применяется для проверки правильности расчетов в линейных резистивных цепях. Потенциальная диаграмма строится для контура без источников тока, причем потенциалы точек начала и конца диаграммы должны получиться одинаковыми.

Рассмотрим контур abcda схемы, изображенной на рис. 4. В ветке ab между резистором R1 и ЭДС E1 обозначим дополнительную точку k.

Рис. 4. Контур для построения потенциальной диаграммы

Потенциал любого узла принимаем равным нулю (например, ?а= 0), выбираем обход контура и определяем потенциалы точек контура: ?а = 0, ?к = ?а — I1R1 , ? b = ? к + Е1, ?с = ? b — I2R2 , ? d = ?c — Е2, ? a = ?d + I3R3 = 0

При построении потенциальной диаграммы необходимо учитывать, что сопротивление ЭДС равно нулю (рис. 5 ).

Рис. 5. Потенциальная диаграмма

Законы Кирхгофа в комплексной форме

Для цепей синусоидального тока законы Кирхгофа формулируются так же, как и для цепей постоянного тока, но только для комплексных значений токов и напряжений.

Первый закон Кирхгофа : «алгебраическая сумма комплексов тока в узле электрической цепи равна нулю»

Второй закон Кирхгофа : «в любом замкнутом контуре электрической цепи алгебраическая сумма комплексных ЭДС равна алгебраической сумме комплексных напряжений на всех пассивных элементах этого контура».

Алгебраическая сумма падений напряжений

Законы Кирхгофа являются одной из форм закона сохранения энергии и относятся к фундаментальным законам природы.

Первый закон Кирхгофа является следствием принципа непрерывности электрического тока, в соответствии с которым суммарный поток зарядов через любую замкнутую поверхность равен нулю, т.е. количество зарядов выходящих через эту поверхность должно быть равно количеству входящих зарядов. Основание этого принципа очевидно, т.к. при его нарушении электрические заряды внутри поверхности должны были бы либо исчезать, либо возникать без видимых причин.

Если заряды перемещаются внутри проводников, то они образуют в них электрический ток. Величина электрического тока может измениться только в узле цепи, т.к. связи считаются идеальными проводниками. Поэтому, если окружить узел произвольной поверхностью S (рис. 1), то потоки зарядов через эту поверхность будут тождественны токам в проводниках образующих узел и суммарный ток в узле должен быть равным нулю.

Для математической записи этого закона нужно принять систему обозначений направлений токов по отношению к рассматриваемому узлу. Можно считать токи направленные к узлу положительными, а от узла – отрицательными. Тогда уравнение Кирхгофа для узла рис. 1 будет иметь вид или .

Обобщая сказанное на произвольное число ветвей сходящихся в узле, можно сформулировать первый закон Кирхгофа следующим образом:

  • алгебраическая сумма токов в любом узле электрической цепи равна нулюили
  • в любом узле сумма токов направленных к узлу равна сумме токов направленных от узла, где

Очевидно, что обе формулировки равноценны и выбор формы записи уравнений может быть произвольным.

При составлении уравнений по первому закону Кирхгофа направления токов в ветвях электрической цепи выбирают обычно произвольно. При этом необязательно даже стремиться, чтобы во всех узлах цепи присутствовали токи разных направлений. Может получиться так, что в каком-либо узле все токи сходящихся в нем ветвей будут направлены к узлу или от узла, нарушая тем самым принцип непрерывности. В этом случае в процессе определения токов один или несколько из них окажутся отрицательными, что будет свидетельствовать о протекании этих токов в направлении противоположном изначально принятому.

Второй закон Кирхгофа связан с понятием потенциала электрического поля, как работы, совершаемой при перемещении единичного точечного заряда в пространстве. Если такое перемещение совершается по замкнутому контуру, то суммарная работа при возвращении в исходную точку будет равна нулю. В противном случае путем обхода контура можно было бы получать энергию, нарушая закон ее сохранения.

Каждый узел или точка электрической цепи обладает собственным потенциалом и, перемещаясь вдоль замкнутого контура, мы совершаем работу, которая при возврате в исходную точку будет равна нулю. Это свойство потенциального электрического поля и описывает второй закон Кирхгофа в применении к электрической цепи.

Читать еще:  Аккумулятор для радиоуправляемых танков

Он также как и первый закон формулируется в двух вариантах, связанных с тем, что падение напряжения на источнике ЭДС численно равно электродвижущей силе, но имеет противоположный знак. Поэтому, если какая либо ветвь содержит сопротивление и источник ЭДС, направление которой согласно с направлением тока, то при обходе контура эти два слагаемых падения напряжения будут учитываться с разными знаками. Если же падение напряжения на источнике ЭДС учесть в другой части уравнения, то его знак будет соответствовать знаку напряжения на сопротивлении.

Сформулируем оба варианта второго закона Кирхгофа , т.к. они принципиально равноценны:

  • алгебраическая сумма падений напряжения вдоль любого замкнутого контура электрической цепи равна нулю

Примечание: знак + выбирается перед падением напряжения на резисторе, если направление протекания тока через него и направление обхода контура совпадают; для падений напряжения на источниках ЭДС знак + выбирается, если направление обхода контура и направление действия ЭДС встречны независимо от направления протекания тока;

  • алгебраическая сумма падений напряжения вдоль любого замкнутого контура электрической цепи равна алгебраической сумме ЭДС, действующих в этом контуре, где .

Примечание: знак + для ЭДС выбирается в том случае, если направление ее действия совпадает с направлением обхода контура, а для напряжений на резисторах знак + выбирается, если в них совпадают направление протекания тока и направление обхода.

Здесь также как и в первом законе оба варианта корректны, но на практике удобнее использовать второй вариант, т.к. в нем проще определить знаки слагаемых.

С помощью законов Кирхгофа для любой электрической цепи можно составить независимую систему уравнений и определить любые неизвестные параметры, если число их не превышает число уравнений. Для выполнения условий независимости эти уравнения должны составляться по определенным правилам.

Общее число уравнений N в системе равно числу ветвей минус число ветвей, содержащих источники тока , т.е. .

Наиболее простыми по выражениям являются уравнения по первому закону Кирхгофа, однако их число не может быть больше числа узлов минус один.

Недостающие уравнения составляются по второму закону Кирхгофа, т.е.

Сформулируем алгоритм составления системы уравнений по законам Кирхгофа :

  1. определить число узлов и ветвей цепи и ;
  2. определить число уравнений по первому и второму законам и . ;
  3. для всех ветвей (кроме ветвей с источниками тока) произвольно задать направления протекания токов;
  4. для всех узлов, кроме одного (выбранного произвольно), составить уравнения по первому закону Кирхгофа;
  5. произвольно выбрать на схеме электрической цепи замкнутые контуры таким образом, чтобы они отличались друг от друга, по крайней мере, одной ветвью и чтобы все ветви, кроме ветвей с источниками тока, входили, по крайней мере, в один контур;
  6. произвольно выбрать для каждого контура направление обхода и составить уравнения по второму закону Кирхгофа, включая в одну часть уравнения действующие в контуре ЭДС, а в другую – падения напряжения на резисторах.

Примечание: Знак ЭДС выбирают положительным, если направление ее действия совпадает с направлением обхода независимо от направления тока; а знак падения напряжения на резисторе принимают положительным, если направление тока в нем совпадает с направлением обхода.

Рассмотрим этот алгоритм на примере рис 2.

Здесь светлыми стрелками обозначены выбранные произвольно выбранные направления токов в ветвях цепи. Ток в ветви с не может быть выбран произвольно, т.к. здесь он определяется действием источника тока .

Число ветвей цепи равно 5, а т.к. одна из них содержит источник тока, то общее число уравнений Кирхгофа равно четырем.

Число узлов цепи равно трем (a, b и c), поэтому число уравнений по первому закону Кирхгофа равно двум и их можно составлять для любой пары из этих трех узлов. Пусть это будут узлы a и b, тогда

По второму закону Кирхгофа нужно составить два уравнения. Всего для данной электрической цепи можно составить шесть контуров. Из этого числа нужно исключить контуры, замыкающиеся по ветви с источником тока. Тогда останутся только три возможных контура (рис. 2). Выбирая любую пару из трех, мы можем обеспечить условие, чтобы все ветви, кроме ветви с источником тока попали по крайней мере в один из контуров. Остановимся на первом и втором контурах и зададим произвольно направление их обхода как показано на рисунке стрелками. Тогда

Несмотря на то, что при выборе контуров и составлении уравнений все ветви с источниками тока должны быть исключены, второй закон Кирхгофа соблюдается и для них. При необходимости определения падения напряжения на источнике тока или на других элементах ветви с источником тока это можно сделать после решения системы уравнений. Например, на рис. 2 можно создать замкнутый контур из элементов , и , и для него будет справедливо уравнение

= ,

где — падение напряжения на источнике тока .

Из сказанного выше очевидно, что законы Кирхгофа необязательно использовать в виде систем уравнений. Они справедливы всегда для любого узла и для любого замкнутого контура любой электрической цепи.

Современные средства математического анализа позволяют легко получить результат решения составленной выше системы уравнений, если она записана в матричной форме в виде . Если неизвестными величинами являются токи в ветвях, то строки матрицы будут состоять из коэффициентов при этих токах в уравнениях Кирхгофа в той последовательности, в какой они включены в вектор-столбец . Отсутствие тока в уравнении соответствует нулевому коэффициенту.

Вектор-столбец включает действующие в цепи источники электрической энергии в порядке записи уравнений в строки матрицы

Тогда матричная запись уравнений Кирхгофа для рассматриваемой нами цепи будет иметь вид

Для упрощения восприятия строки записи помечены указателями на тот узел или контур, которому они соответствуют.

Правила (законы) Кирхгофа простыми словами

На практике часто встречаются задачи по расчётам параметров токов и напряжений в различных разветвлённых цепях. В качестве инструмента для расчётов используют правила Кирхгофа (в некоторой литературе их называют еще законами, хотя это не совсем корректно) – одни из фундаментальных правил, которые совместно с законами Ома позволяет определять параметры независимых контуров в самых сложных цепях.

Учёный Густав Киргхоф сформулировал два правила [1], для понимания которых введено понятие узла, ветви, контура. В нашей ситуации ветвью будем называть участок, по которому протекает один и тот же ток. Точки соединения ветвей образуют узлы. Ветви вместе с узлами образуют контуры – замкнутые пути, по которым течёт ток.

Первое правило Кирхгофа

Первое правило Густава Кирхгофа сформулировано исходя из закона сохранения заряда. Физик понимал, что заряд не может задерживаться в узле, а распределяется по ветвям контура, образующим это соединение.

Кирхгоф предположил, а впоследствии обосновал на основании экспериментов, что количество зарядов зашедших в узел такое же, как и количество тока вытекающего из него.

На рисунке 1 изображена простая схема, состоящая из контуров. Точками A, B, C, D обозначены узлы контура в центре схемы.

Рис. 1. Схема контура

Ток I1 входит в узел A, образованный ветвями контура. На схеме электрический заряд распределяется в двух направлениях – по ветвям AB и AD. Согласно правилу Кирхгофа, входящий ток равен сумме выходящих: I1 = I2 + I3.

На рисунке 2 представлен абстрактный узел, по ветвям которого течёт ток в разных направлениях. Если сложить векторы i1, i2, i3, i4 то, согласно первому правилу Кирхгофа, векторная сумма будет равняться 0: i1 + i2 + i3 + i4 = 0. Ветвей может быть сколько угодно много, но равенство всегда будет справедливым, с учётом направления векторов.

Читать еще:  Current transfer ratio оптопары что это

Рис. 2. Абстрактный узел

Запишем наши выводы в алгебраической форме, для общего случая:

Для использования этой формулы, требуется учитывать знаки. Для этого необходимо выбрать направление одного из векторов тока (не важно, какого) и обозначить его знаком «плюс». При этом знаки всех других величин определить, исходя от их направления, по отношению к выбранному вектору.

Чтобы избежать путаницы, ток, направленный в точку узла, принято считать положительным, а векторы, направленные от узла – отрицательными.

Изложим первое правило Кирхгофа, выраженное приведённой выше формулой: «Алгебраическая сумма сходящихся в определённом узле токов, равна нулю, если считать входящие токи положительными, а отходящими – отрицательными».

Первое правило дополняет второе правило, сформулированное Кирхгофом. Перейдём к его рассмотрению.

Второе правило Киргхофа

Из третьего уравнения Максвелла вытекает правило Кирхгофа для напряжений. Его ещё называют вторым законом.

Это правило гласит, что в замкнутом контуре, на резистивных элементах, алгебраическая сумма напряжений (включая внутренние), равна сумме ЭДС, присутствующих в этом же замкнутом контуре.

При этом токи и ЭДС, векторы которых совпадают с направлением (выбирается произвольно) обхода контура, считаются положительными, а встречные к обходу токи – отрицательными.

Рис. 4. Иллюстрация второго правила Кирхгофа

Формулы, которые изображены на рисунке применяются в частных случаях для вычисления параметров простых схем.

Формулировки уравнений общего характера:

, где где Lk и Ck – это индуктивности и ёмкости, соответственно.

Линейные уравнения справедливы как для линейных, так и для нелинейных линеаризованных цепей. Они применяются при любом характере временных изменений токов и напряжений, для разных источников ЭДС. При этом законы Кирхгофа справедливы и для магнитных цепей. Это позволяет выполнять вычисления для поиска соответствующие параметров.

Закон Кирхгофа для магнитной цепи

Применение независимых уравнений возможно и при расчётах магнитных цепей. Сформулированные выше правила Кирхгофа справедливы и для вычисления параметров магнитных потоков и намагничивающих сил.

Рис. 4. Магнитные контуры цепей

То есть, для магнитных потоков первое правило Кирхгофа можно выразить словами: «Алгебраическая сумма всевозможных магнитных потоков относительно узла магнитной цепи равняется нулю.

Сформулируем второе правило для намагничивающих сил F: «В замкнутом магнитном контуре алгебраическая сумма намагничивающих сил приравнивается к сумме магнитных напряжений». Данное утверждение выражается формулой: ∑F=∑U или ∑Iω = ∑НL, где ω – количество витков, H – напряжённость магнитного поля, символ L обозначает длину средней линии магнитопровода. ( Условно принимается, что каждая точка этой линии совпадает с линиями магнитной индукции).

Второе правило, применяемое для вычисления магнитных цепей, есть не что иное, как альтернативная форма представления закона полного тока.

Примечание: Составляя уравнения с использованием формул, вытекающих из правил Кирхгофа, надо прежде определиться с положительным направлением потоков, функционирующих в ветвях, сопоставив их с направлением обходов существующих контуров.

При совпадении векторов магнитного потока с направлениями обхода (на некоторых участках), падение напряжения на этих ветвях берём со знаком « + », а встречные ему – со знаком « – ».

Примеры расчета цепей

Рассмотрим ещё раз рисунок 3. На нём изображено 4 разнонаправленных вектора: i1, i2, i3, i4. Из них – два входящие ( i2, i3) и два исходящие из узла (i1, i4). Положительными будем считать те векторы, которые направлены в точку соединения ветвей, а остальные – отрицательными.

Тогда, по формуле Кирхгофа, составим уравнение и запишем его в следующем виде: – i1 + i2 + i3 – i4 = 0.

На практике такие узлы являются частью контуров, обходя которые можно составить ещё несколько линейных уравнений с этими же неизвестными. Количество уравнений всегда достаточно для решения задачи.

Рассмотрим алгоритм решения на примере рис. 5.

Рис. 5. Пример для расчёта

Схема содержит 3 ветви и два узла, которые образуют три пары по два независимых контура:

Запишем независимое уравнение, выполняющееся, например, в точке а. Из первого правила Кирхгофа вытекает: I1 + I2 – I3 = 0.

Воспользуемся вторым правилом Кирхгофа. Для составления уравнений можно выбрать любой из контуров, но нам необходимы контуры с узлом а, так как для него мы уже составили уравнение. Это будут контуры 1 и 2.

Пишем уравнения:

Решаем систему уравнений:

Так как значения R и E известны (см. рисунок 5), мы придём к системе уравнений:

Решая эту систему, получим:

Потенциал узла а равен: Ua = I3*R3 = 3,55 × 3 = 10,65 В. Чтобы убедиться в верности наших расчётов, проверим выполнение второго правила по отношению к контуру 3:

E1 – E2 + I1R1+ I2R2 = 12 – 15 + 1,36 – 4,38 = – 0,02 ≈ 0 (с учётом погрешностей, связанных с округлениями чисел при вычислениях).

Если проверка выполнения второго правила успешно завершена, то расчёты сделаны правильно, а полученные данные являются достоверными.

Применяя правила (законы) Кирхгофа можно вычислять параметры электрической энергии для магнитных цепей.

Законы Кирхгофа они же Правила Кирхгофа для тока и напряжения.

Законы Кирхгофа они же Правила Кирхгофа для тока и напряжения. Kirchhoff current (или «first») rule (или «law») & Kirchhohh loop (или «mesh», или «second») rule (или «law») .

  • узлы— точки соединения трёх и более проводников
  • контуры — ЗАМКНУТЫЕ пути из проводников. При этом каждый проводник может входить в несколько контуров.
  • ветви — последовательное соединение элементов между двумя ближайшими узлами

Алгебраическая сумма токов в любой точке любой цепи равна нулю (значения вытекающих токов берутся с обратным знаком)

Иными словами, сколько тока втекает в точку цепи ( на практике используют узел — см. выше), столько из нее и вытекает (из узла и вытекает).

Сколько дает уравнений: Если цепь содержит p узлов, то она описывается p-1 независимыми уравнениями токов относительно узлов.

Удобно считать входящие токи положительными, а выходящие отрицательными.

Алгебраическая сумма падений напряжений по любому ЗАМКНУТОМУ контуру цепи равна алгебраической сумме ЭДС, действующих вдоль этого же контура. Если в контуре нет ЭДС, то суммарное падение напряжений равно нулю. (Если направление тока совпадает с направлением обхода контура, перепад напряжения считается положительным, в противном случае — отрицательным). если в замкнутом контуре k штук ЭДС и n проводников , то:

Иными словами, при обходе цепи по контуру, потенциал, изменяясь, возвращается к исходному значению.

Сколько дает уравнений: Если цепь содержит n ветвей, из которых k содержат источники тока (ЭДС) и p узлов , то она описывается n-k-(p-1) независимыми уравнениями напряжений относительно узлов. ( т.е. на практике в расчетах опираются на узлы, а не на что попало)

Пример: попробуем записать все возможные уравнения следуя Правилам Кирхгофа для данного рисунка ( он-же — наверху справа, не удивляйтесь) :

Заметим, что он содержит p=3 узла не 6!, k=0 ЭДС, и n=4 ветви (в замкнутых контурах). Ожидаем, потому:

  • p-1 = 2 уравнения тока
  • n-k-(p-1) = 2 уравнения напряжения
  • итого ожидаем 4 независимых уравнения

Все остальные умные равенства такие как I3=I5, U4=U3+U5 и т.д., которые можно получить из анализа картинки, строго говоря, не опираются на Правила Кирхгофа, а опираются на здравый смысл и законы Ома. Расчеты по правилам Кирхгофа ведут именно по узлам («относительно узлов»), выделив их предварительно на схеме. Конечно:

  • не забываем Основные электротехнические формулы. Мощность. Сопротивление. Ток. Напряжение. Закон Ома.
  • помним, что все соображения Правил Кирхгофа относятся как к действительным, так и комплексным ЭДС и падениям напряжения.

Законы Кирхгофа являются производной от глобальных «законов сохранения». Поэтому: вот еще одно важное соображение для инженеров:

  • в случаях переноса массы (жидкости, газа) по трубам массовый расход (а для несжимаемых жидкостей в отсутствии химических реакций и объемный расход) является полным аналогом тока и подчиняется Первому Правилу (сколько втекает, столько вытекает).
  • аналогом потенциала в таких системах является давление, аналогом ЭДС в таких системах является пререпд давления создаваемый насосами. Аналогом падения напряжения является падение давления. Эти величины подчиняются Второму правилу Кирхгофа ( при обходе трубы по контуру, давление изменяясь возвращается к исходному значению).
  • Единственным важным отличием от классической электротехники, где сопротивления, в целом, стабильны относительно широких диапазонов тока является тот факт, что гидравлическое сопротивление сильно зависит от характера потока, определяемого такой величиной, как Число Рейнольдса(Re), зависящее от свойств среды и всяких прочих хароактеристик процесса.
Читать еще:  Arnica pika пылесос отзывы

Закон Кирхгофа

Закон Кирхгофа (правила Кирхгофа), сформулированные Густавом Кирхгофом в 1845 году, являются следствиями из фундаментальных законов сохранения заряда и безвихревости электростатического поля.

Закон Кирхгофа – это соотношения, выполняемые между токами и напряжениями на участках любых электрических цепей. Они позволяют рассчитывать любые электрические цепи: постоянного, переменного или квазистационарного тока.

При формулировании правил Кирхгофа используют такие понятия, как ветвь, контур и узел электрической цепи.

  • Ветвь – участок электрической цепи с одни и тем же током.
  • Узел – точка соединения трех или более ветвей.
  • Контур – замкнутый путь, проходящий через несколько узлов и ветвей разветвлённой электрической цепи.

При обходе надо учесть, что ветвь и узел могут одновременно принадлежать нескольким контурам. Правила Кирхгофа справедливы как для линейных, так и для нелинейных цепей при любом характере изменения во времени токов и напряжений. Правила Кирхгофа широко применяются при решении задач электротехники за счет легкости в расчетах.

1 закон Кирхгофа

В цепях, состоящих из последовательно соединенных источника и приемника энергии, соотношения между током, сопротивлением и ЭДС всей цепи или на каком-либо участке цепи определяются законом Ома. Но на практике в цепях токи от какой-либо точки идут по разным путям (Рис. 1). Поэтому становиться актуальным введение новых правил для проведения расчетов электрических цепей.

Рис. 1. Схема параллельного соединения проводников.

Так, при параллельном соединении проводников начала всех проводников соединены в одну точку, а концы проводников – в другую точку. Начало цепи присоединяется к одному полюсу источника напряжения, а конец цепи – к другому полюсу.

Из рисунка видно, что при параллельном соединении проводников для прохождения тока имеется несколько путей. Ток, протекая к точке разветвления А, растекается далее по трем сопротивлениям и равен сумме токов, выходящих из этой точки: I = I1 + I2 + I3.

Согласно первому правилу Кирхгофа алгебраическая сумма токов ветвей, сходящихся в каждом узле любой цепи равна нулю. При этом направленный к узлу ток принято считать положительным, а направленный от узла – отрицательным.

Запишем первый закон Кирхгофа в комплексной форме:

Первый закон Кирхгофа гласит, что алгебраическая сумма токов, направленных к узлу, равна сумме направленных от узла. То есть, сколько тока втекает в узел, столько же вытекает (как следствие закона сохранения электрического заряда). Алгебраическая сумма — это сумма, в которую входят слагаемые со знаком плюс и со знаком минус.

Рис. 2. i_1+i_4=i_2+i_3.

Рассмотрим применение 1 закона Кирхгофа на следующем примере:

  • I1 – это полный ток, текущий к узлу А, а I2 и I3 — токи, вытекающие из узла А.
  • Тогда мы можем записать: I1 = I2 + I3.
  • Аналогично для узла B: I3 = I4 + I5.
  • Пусть, что I4 = 5 А и I5 = 1 А, получим: I3 = 5 + 1 = 6 (А).
  • Пусть I2 = 10 А, получим: I1 = I2 + I3 = 10 + 6 = 16 (А).
  • Запишем подобное соотношение для узла C: I6 = I4 + I5 = 5 + 1 = 6 А.
  • А для узла D: I1 = I2 + I6 = 10 + 6 = 16 А
  • Таким образом мы наглядно видим справедливость первого закона Кирхгофа.

2 закон Кирхгофа

При расчете электрических цепей в большинстве случаев нам встречаются цепи, образующие замкнутые контуры. В состав таких контуров, кроме сопротивлений, могут входить ЭДС (источники напряжений). На рисунке 4 представлен участок такой электрической цепи. Произвольно выбираем положительные направления токов. Обходим контур от точки А в произвольном направлении (выберем по часовой стрелке). Рассмотрим участок АБ: происходит падение потенциала (ток идет от точки с высшим потенциалом к точке с низшим потенциалом).

  • На участке АБ: φА + E1 – I1r1 = φБ.
  • БВ: φБ – E2 – I2r2 = φВ.
  • ВГ: φВ – I3r3 + E3 = φГ.
  • ГА: φГ – I4r4 = φА.
  • Складывая данные уравнения, получим: φА + E1 – I1r1 + φБ – E2 – I2r2 + φВ – I3r3 + E3 + φГ – I4r4 = φБ + φВ + φГ + φА
  • или: E1 – I1r1 – E2 – I2r2 – I3r3 + E3 – I4r4 = 0.
  • Откуда имеем следующее: E1 – E2 + E3 = I1r1 + I2 r2 + I3r3 + I4r4.

Таким образом, получаем формулу второго закона Кирхгофа в комплексной форме:

Уравнение для постоянных напряжений — Уравнение для переменных напряжени —

Теперь можем сформулировать определение 2 (второго) закона Кирхгофа:

Второй закон Кирхгофа гласит, что алгебраическая сумма напряжений на резистивных элементах замкнутого контура, равна алгебраической сумме ЭДС, входящих в этот контур. В случае отсутствия источников ЭДС, суммарное напряжение равно нулю.

Иначе формулируя второе правило Кирхгофа, можно сказать: при полном обходе контура потенциал, изменяясь, возвращается к начальному значению.

При составлении уравнения напряжений для контура нужно выбрать положительное направление обхода контура, при этом падение напряжения на ветви считается положительным, если направление обхода данной ветви совпадает с ранее выбранным направлением тока ветви, в противном случае – отрицательным.

Определить знак можно по алгоритму:

  • 1. выбираем направление обхода контура (по или против часовой стрелки);
  • 2. произвольно выбираем направления токов через элементы цепи;
  • 3. расставляем знаки для напряжений и ЭДС по правилам (ЭДС, создающие ток в контуре, направление которого совпадает с направление обхода контура со знаком «+», иначе – «-»; напряжения, падающие на элементах цепи, если ток, протекающий через эти элементы совпадает по направлению с обходом контура, со знаком «+», в противном случае – «-»).

Закон Ома является частным случаем второго правила для цепи.

Приведем пример применения второго правила Кирхгофа:

По данной электрической цепи (Рис 6) необходимо найти ее ток. Произвольно берем положительное направление тока. Выберем направление обхода по часовой стрелке, запишем уравнение 2 закона Кирхгофа:

Знак минус означает, что выбранное нами направление тока противоположно его действительному направлению.

Решение задач

1. По приведенной схеме записать законы Кирхгофа для цепи.

    Дано:
  • R1
  • R2
  • R3
  • E1
  • E2
  • I1 – ?
  • I2 – ?
  • I3 – ?
  • Используя первый закон Кирхгофа, запишем уравнение для цепи. Сумма токов сходящихся в узле равна нулю. Примем входящие токи положительными, а выходящие отрицательными. Тогда:
  • Используя второй закон Кирхгофа составим уравнения для первого и второго контуров цепи.
  • Направления обхода произвольны, при этом если направление тока через резистор совпадает с направлением обхода, знак «+», если иначе, то «-». С источниками ЭДС так же.
  • Для первого контура токи I1 и I3 совпадают с направлением обхода, ЭДС Е1 также совпадает, то есть берем их со знаком «+».
  • Для первого и второго контуров по второму закону Кирхгофа получаем следующие уравнения:
  • Таким образом, получаем систему из трех уравнений, являющуюся решением задачи:

2. На рисунке приведена цепь с двумя источниками ЭДС величиной 12 В и 5 В, с внутренним сопротивлением источников 0,1 Ом, работающих на общую нагрузку 2 ома. Как будут распределены токи в этой цепи, какие они имеют значения?.

Ссылка на основную публикацию
Adblock
detector